2016 年 7 月 17 日 のアーカイブ

小林慎一 16年7月17日放送

160717-01 Bob Lord
暗号解読と数学篇

第二次世界大戦。
ドイツの暗号システム「エニグマ」は
1億5千万通りの百万倍の百万倍の百万倍
の設定が可能だった。

イギリスの暗号解読班は
古典学者と言語学者で占められていたが
数学の研究者が必要だと判断した。

コンピュータの原型である無限計算機の開発者
アラン・チューリングがイギリスの暗号解読班に参加した。

チューリングは、
エニグマの全設定をチェックする巨大な装置をつくった。
その装置は、回線がつねにカチカチと音を立てるため
爆弾と言われた。

戦況は一変した。

第二次世界大戦は物理学者の戦争と言われた。

しかし、
長い間、秘密のベールに隠されていた
チューリングのチームの存在が明らかになった今、
第二次世界大戦は数学者の戦争だったのだ。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-02
神とサイコロ篇

人類にとって、
確率とは、ギャンブラーの直感と経験のことだった。

17世紀に入り、
パスカルとフェルマーの共同作業によって
確率は厳密な数学規則に従うものになった。

しかし、それ以来、数学的に正しい数字と、
私たちが直感的に正しいと思える数字が違っていることが
少なからずある。

サッカー場に選手と審判が23人いるとする。
この23人のうち、誰か2人の誕生日が
同じになる確率はどれくらいだろうか。

10%だろうか。3%だろうか。
答えは、50%を超える。

誕生日が同じ人が一組生まれる確率は、
一組も生まれない確率よりも高いのだ。

その理由は、23人という数字よりも、
ペアをつくる組み合わせが重要だからだ。
ペアの組み合わせは、253通りになる。

このような確率の錯覚を利用したギャンブル生まれている。
あなたも、くれぐれもお気をつけを。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-03
微積分と大統領篇

フェルマーは確率論の生みの親になっただけでなく
微積分学の創設にも深く関わった。

微積分法によれば
ある量が別の量に対して変化する率
微分係数を求めることができる。

例えば、速度とは時間に対する距離の変化率のことで
加速度とは時間に対する速度の変化率のことである。

微積分学のおかげで惑星の軌道を計算し、
大砲の弾道を予測し
人類は月に行けるようになった。

微積分学は経済学にも大きな影響を与えた。
インフレーションとは物価の変化率のことである。
インフレーションは物価の二次導関数で表され
その増減は三次導関数によって計算される。

1972年、ニクソン大統領は
インフレーションの上昇率は減少しつつある、と演説した。
数学者のヒューゴ・ロッシは
現職の大統領が再選に向けて三次導関数を
利用したはじめてのケースであると述べている。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-04
セミと素数篇

周期ゼミというセミがいる。
どんな世代でも正確に17年または13年で大量発生する。
周期年数が素数であることから素数ゼミとも呼ばれている。

最近では、2004年にニューヨークで大量発生し
日本でもたびたび報道された。

素数年発生の意義を最初に指摘したのはロイドとダイバスだ。

セミの天敵である寄生虫が2年のライフサイクルを持つなら
セミは2で割り切れるライフサイクルは避けたいに違いない。
3年の場合は3で割り切れるライフサイクルを避けようとするだろう。

セミが寄生虫との同時発生を避ける最良の策は
長くて、しかも素数のライフサイクルを持つことだ。

2年のライフサイクルをもつ寄生虫と
ジュウナナネンゼミが顔を合わすのは34年ごとになる。

そんなセミに寄生虫が対抗するには1年サイクルか、
17年サイクルになるしかない。

1年サイクルだとすると、
最初の16年は宿主になるセミはいない。
17年サイクルだとすると、
寄生虫とセミは272年間同時発生しないことになる。

天敵のいなくなったジュウナナネンゼミは、
2021年にまた大量発生する。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-05
戦闘と数学篇

1944年。
フォン・ノイマンは「ゲームの理論と経済行動」
という共著を出版した。

ノイマンはこの本の中でゲーム理論という言葉を生み出し
人間がゲームをいかに遂行するかを数学的に記述した。

チェスやポーカーについて研究し、
経済の営みもモデル化しようとした。

アメリカのシンクタンクであるランド研究所は
ノイマンのアイデアが持つ
潜在的可能性に気づき
冷戦期の戦略開発のために彼を雇い入れた。

ゲーム理論は、
戦闘をチェスと見立てて戦略を練るのに
なくてはならない道具となった。

ゲーム理論によって進化した戦闘は
より効率よく人を殺せるようになったのだ。

ジョイスティックで操られた無人機が爆弾を落とす。

戦闘のゲーム化が、残虐性を覆い隠してはいないだろうか。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-06 faeriefly717
ゲームと数学篇

人がゲームの勝率を上げるための
数学的理論はフォン・ノイマンによって確立された。
そのゲーム理論は実際の戦闘にも応用されている。

例えば、ミスターブラック、ミスターグレイ、ミスターホワイトの
3人がピストルで決闘することになった。
決闘は一人が生き残るまで行われる。

ブラックは、3回に1回しかピストルを当てることができない。
グレイは、3回に2回。ホワイトは3回に3回当てることができる。

ピストルを打つ順番は、下手な順で、ブラックからである。
ブラックは最初に誰を狙えばいいだろうか。

百発百中のホワイトを狙うか、3回に2回のグレーを狙うか。
グレーを狙い成功すると、
ホワイトは百発百中の腕前でブラックを殺すだろう。
ホワイトを狙い成功するとグレーは3回に2回の確率なため
ブラックが生き残る可能性が高まる。

しかし、もっともいい方法は、空を打つことである。
次にグレーはより危険な敵であるホワイトを狙うだろう。
ホワイトがもし生き延びてもホワイトはグレーを狙うだろう。

ブラックにとっての最善の策は、
3人による決闘の一発目打つのではなく
2人による決闘の合図をすることなのだ。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-07 USFWS Headquarters
自然とパイ篇

円周率パイは、円の幾何学に由来する数字だ。

円周の直径に対する比率が3より少し大きいということは
古代インドやバビロニアでも知られていた。

3.14159・・・・
現在では13兆桁以上まで計算されている割り切れない数は、
科学研究の様々な局面で顔を出す。

ケンブリッジ大学教授のハンス・ヘンリック・ステルムは
いろいろな川の長さと、水源から河口までの直線距離の比を求めてみた。

その数字は、ほとんど、円周率と等しかった。

川は常に曲がろうとする。
川はカーブの外側の流れが速いため侵食が進み
川のカーブはさらに急になる。
このようにして川はどんどん曲がっていく。

しかし、川は曲がるほどにバイパスができやすくなり
バイパスができると川はまっすぐになり
取り残された部分は三日月湖になる。

カオスと秩序のせめぎ合いの数字が
3.14からつづく無理数なのだ。


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小林慎一 16年7月17日放送

160717-08
スパイと数学篇

純粋数学は現実世界には応用するのは難しい分野だか
素数理論はそれができる数少ない領域である。

1977年マサチューセッツ工科大学の
ロナルド・リヴェストのチームは
暗号に関する画期的なアイデアを思いついた。

暗号用の鍵をつくる際に、素数を二つ用意し、
それを掛け合わせて大きな非素数にする。

通信文を暗号化するには、
この大きな非素数が分かっていればよい。
一方、暗号化された文を復元するするには
もとになった2つの素数を知らなければならない。

例えば、
589になる2つの素数を突き止めるのには
家庭用のパソコンで3分もかければ
素数が31と19であることが分かる。

だが、実用化されている非素数は100桁を超えるため
世界一性能のいいコンピューターを使っても数年かかる。

年に1度、暗号鍵を変更すれば、
敵のスパイはまた計算を最初からやり直さなければならない。


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